Question

已知曲線C的方程為（1-2k）x²+y²-1=0，下列四個命題中正確命題的個數(shù)為

 

．
①當k＞

1

2

時，C是雙曲線；
②當k＜

1

2

時，C是橢圓；
③當k=

1

2

時，C是拋物線；
④C不可能是兩條直線．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：線C的方程為（1-2k）x²+y²-1=0，可化為：

x2

1 1-2k

+y²=1，根據(jù)橢圓，圓和雙曲線的標準方程可得：當k＞

1

2

時，C是雙曲線；k＜

1

2

且k≠0時，C是橢圓，當k=

1

2

時，C是兩條直線；當k=0時，C是圓；進而可得答案．

解答： 解：曲線C的方程為（1-2k）x²+y²-1=0，可化為：

x2

1 1-2k

+y²=1，
對于①，當k＞

1

2

時，

1

1-2k

＜0，C是焦點在y軸上的雙曲線，故正確；
對于②，當k＜

1

2

且k≠0時，C是橢圓，故錯誤；
對于③，當k=

1

2

時，y²-1=0，表示兩條與x軸平行的直線，故錯誤；
對于④，由③得，當k=

1

2

時，y²-1=0，表示兩條與x軸平行的直線，故錯誤；
故正確命題的個數(shù)為1個，
故答案為：1

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了橢圓與雙曲線的標準方程，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．