Question

22、已知a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）²（x+b）e²，b∈R，x=a是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，討論g（x）=0的兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂是否為a，從而確定x=a是否是f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)，建立不等關(guān)系即可求出b的范圍．

解答：解：f′（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，
則△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是，假設(shè)x₁，x₂是g（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，且x₁＜x₂．
（1）當(dāng)x₁=a或x₂=a時(shí)，則x=a不是f（x）的極值點(diǎn)，此時(shí)不合題意．
（2）當(dāng)x₁≠a且x₂≠a時(shí)，由于x=a是f（x）的極大值點(diǎn)，故x₁＜a＜x₂．
即g（a）＜0
即a²+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0
所以b＜-a
所以b的取值范圍是：（-∞，-a）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力、分類(lèi)討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)．