Question

17．在直角坐標系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線L：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$ （T為參數(shù)）與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）相交于不同的兩點A，B．
（1）若α=$\frac{π}{3}$，若以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，求直線AB的極坐標方程；
（2）若直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，點P（2，$\sqrt{3}$），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）先求出l的普通方程，然后根據(jù)極坐標的關(guān)系進行求解即可．
（2）求出C的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義進行求解即可．

解答 解：（1）當α=$\frac{π}{3}$時，直線l的普通方程為：$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}$=0
∴直線l的極坐標方程為：$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ=$\sqrt{3}$，即2$ρcos（θ+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$．
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$普通方程是：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$ 代入曲線C的普通方程，整理得：
（cos²α+4sin²α）t²+（8$\sqrt{3}$sinα+4cosα）t+12=0
因為|PA||PB|=|t₁t₂|=$\frac{12}{cos^2α+4sin^2α}$=$\frac{12（cos^2α+sin^2α）}{cos^2α+4sin^2α}$=$\frac{12（1+tan^2α）}{1+4tan^2α}$
而直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，則tanα=$\frac{\sqrt{5}}{4}$ 代入上式求得|PA||PB|=$\frac{12（1+\frac{5}{16}）}{1+4×\frac{5}{16}}$=7．

點評 本題主要考查參數(shù)方程和極坐標方程的應(yīng)用，根據(jù)條件化簡為普通方程是解決本題的關(guān)鍵．