Question

3．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，焦距為2c（c＞0）．若拋物線y²=4cx與該雙曲線在第一象限的交點為M，當|MF₁|=4c時，該雙曲線的離心率為1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準線方程，運用雙曲線和拋物線的定義，解得M的坐標，代入雙曲線的方程，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程可得e．

解答 解：拋物線y²=4cx的焦點為（c，0），
準線方程為x=-c，
由雙曲線的定義可得，|MF₁|-|MF₂|=2a，
由拋物線的定義可得|MF₂|=x_M+c=4c-2a，
解得x_M=3c-2a，y_M²=4c（3c-2a），
代入雙曲線的方程，可得$\frac{（3c-2a）^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c（3c-2a）}{^{2}}$=1，
由c²=a²+b²，e=$\frac{c}{a}$，
可得（3e-2）²-$\frac{4e（3e-2）}{{e}^{2}-1}$=1，
可令e-1=t，即e=1+t，
化為9t⁴+24t³-16t-4=0，（t＞0），
即有（9t⁴-4）-8t（2-3t²）=0，
即為（3t²-2）（3t²+2）+8t（3t²-2）=0，
即有（3t²-2）（3t²+8t+2）=0，
解得t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（負的舍去），
可得離心率e=1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用拋物線和雙曲線的定義，以及點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．