(I)解:由題意可設(shè)拋物線(xiàn)的方程為x
2=2py(p≠0).
因?yàn)辄c(diǎn)A(a,4)在拋物線(xiàn)上,所以p>0.
又點(diǎn)A(a,4)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離是5,所以
+4=5,可得p=2.
所以?huà)佄锞(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x
2=4y.
(II)解:點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),則F(0,1).
依題意可知直線(xiàn)MN不與x軸垂直,
所以設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=kx+1.
因?yàn)镸N過(guò)焦點(diǎn)F,所以判別式大于零.
設(shè)M(x
1,y
1),N(x
2,y
2).
則x
1+x
2=4k,x
1x
2=-4.
由于
切線(xiàn)MT的方程為
,①
切線(xiàn)NT的方程為
②
由①,②,得
則
所以
(III)證明:
由拋物線(xiàn)的定義知
=k
2x
1x
2+2k(x
1+x
2)+4=4k
2+4.
即
的等比中項(xiàng).
分析:(I)先根據(jù)題意設(shè)出拋物線(xiàn)的方程,再結(jié)合點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離可求出p的值,進(jìn)而可得到拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(II)先求出F的坐標(biāo),然后設(shè)出直線(xiàn)MN的方程,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,表示出兩根之和與兩根之積,然后表示出
,再對(duì)x
2=4y進(jìn)行求導(dǎo),表示出切線(xiàn)MT、NT的方程后聯(lián)立解出交點(diǎn)T的坐標(biāo),得到
的坐標(biāo)表示,最后使
運(yùn)算等于0即可.
(III)根據(jù)(II)中
的坐標(biāo)求出
,再結(jié)合拋物線(xiàn)的定義課得到
,再由
并將直線(xiàn)方程y=kx+1代入,結(jié)合(II)中的兩根之和與兩根之積可得到
得證.
點(diǎn)評(píng):本土主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題以及向量的運(yùn)算.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)是高考的重點(diǎn)問(wèn)題,常以壓軸題的形式出現(xiàn).