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【題目】對于定義域為D的函數,如果存在區(qū)間,同時滿足:內是單調函數;當定義域是時,的值域也是,則稱是該函數的優(yōu)美區(qū)間”.

1)求證:是函數的一個優(yōu)美區(qū)間”.

2)求證:函數不存在優(yōu)美區(qū)間”.

3)已知函數)有優(yōu)美區(qū)間,當a變化時,求出的最大值.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)結合優(yōu)美區(qū)間的定義,可證明結論;

2)若函數存在優(yōu)美區(qū)間”,可得函數上單調遞減,從而可得,聯(lián)立可推出矛盾,即可證明結論;

3)函數優(yōu)美區(qū)間”,結合單調性可得,聯(lián)立可求得的關系,進而可求得的最大值.

1在區(qū)間上單調遞增,

,,∴的值域為,

區(qū)間的一個優(yōu)美區(qū)間”.

2)設是已知函數的定義域的子集.

,可得,

∴函數上單調遞減.

是已知函數的優(yōu)美區(qū)間”,,

兩式相減得,,,

,

,顯然等式不成立,

∴函數不存在優(yōu)美區(qū)間.

3)設是已知函數定義域的子集.

,,

而函數上單調遞增.

是已知函數的優(yōu)美區(qū)間”,,

是方程,即的兩個同號且不等的實數根.

,∴同號,只須,

解得,

,

∴當時,取得最大值.

練習冊系列答案
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