已知函數(shù)f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點(diǎn)P(1,-2),過點(diǎn)P作直線l.
(1)求使直線l和y=f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程;
(2)求使直線l和y=f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程.
解:(1)由f(x)=x
3-3x得,f′(x)=3x
2-3,
過點(diǎn)P且以P(1,-2)為切點(diǎn)的直線的斜率f′(1)=0,
∴所求直線方程為y=-2.
(2)設(shè)過P(1,-2)的直線l與y=f(x)切于另一點(diǎn)(x
0,y
0),
則f′(x
0)=3x
02-3.
又直線過(x
0,y
0),P(1,-2),
故其斜率可表示為
=
,
又
=3x
02-3,
即x
03-3x
0+2=3(x
02-1)•(x
0-1),
解得x
0=1(舍)或x
0=-
,
故所求直線的斜率為k=3×(
-1)=-
,
∴y-(-2)=-
(x-1),
即9x+4y-1=0.
分析:(1)由已知可得斜率函數(shù)為f′(x)=3x
2-3,進(jìn)而求出所過點(diǎn)切線的斜率,代入點(diǎn)斜式公式即可.
(2)設(shè)另一切點(diǎn)為(x
0,y
0),求出該點(diǎn)切線方程,再由條件計(jì)算.
點(diǎn)評(píng):本題較為簡(jiǎn)單,主要考查的是直線的點(diǎn)斜式方程的求解,掌握好這一方法即可.