Question

過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|FA|=|FB|，則橢圓的離心率等于________．

Answer 1

分析：首先作準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M，過(guò)B準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，過(guò)B作BH⊥AD，垂足為H，交x軸于E；再設(shè)|AB|=5t，易得|BF|=2t，|AF|=3t，結(jié)合直線的斜率，可得|AH|=t，再根據(jù)圖象，將|AH|用|AF|和|BF|表示，計(jì)算可得答案．
解答：解：作準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M，過(guò)B準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，過(guò)B作BH⊥AD，垂足為H，交x軸于E．
設(shè)|AB|=5t，因?yàn)閨FA|=|FB|，則|BF|=2t，|AF|=3t，
因?yàn)锳B傾斜角為60°，所以∠ABH=30°，則|AH|=|AB|=t，
|AH|=t-t=t=t，
所以e=，
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：本題與直線的傾斜角的性質(zhì)相結(jié)合考查橢圓的基本性質(zhì)，注意將兩者性質(zhì)綜合運(yùn)用即可．