Question

已知定義在R上的函數y=f（x）滿足以下三個條件：①對于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；②對于任意的a，b∈[0，2]，且a＜b，都有f（a）＜f（b）；③函數y=f（x+2）是偶函數，則下列結論正確的是（　�。�

Answer 1

分析：求解本題需要先把函數的性質研究清楚，由三個條件知函數周期為4，其對稱軸方程為x=2，在區(qū)間[0，2]上是增函數，觀察四個選項發(fā)現自變量都不在已知的單調區(qū)間內故應用相關的性質將其值用區(qū)間[0，2]上的函數值表示出，以方便利用單調性比較大�。�

解答：解：由①知f（x）是以4為周期的周期函數；由②知f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數；
由③知f（2+x）=f（2-x），其圖象的對稱軸為x=2，
∴f（4.5）=f（0.5），
f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1），
f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2-0.5）=f（1.5），
∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，且函數y=f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數，
∴f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），即f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），
故選A．

點評：本題綜合考查了函數的周期性、函數的對稱性與函數的單調性，涉及到了函數的三個主要性質，本題中周期性與對稱性的作用是將不在同一個單調區(qū)間上的函數值的大小比較問題轉化成同一個單調區(qū)間上來比較，函數圖象關于直線x=a對稱，有兩個等價方程：①f（a+x）=f（a-x），②f（x）=f（2a-x），做題時應根據題目條件靈活選擇對稱性的表達形式．