Question

16．已知直線l與橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，橢圓的焦點到長軸兩個頂點的距離分別為2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$，向量$\overrightarrow{m}$=（ax₁，by₁），$\overrightarrow{n}$=（ax₂，by₂），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為1，O為坐標(biāo)原點，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的焦點到長軸兩個頂點的距離分別為2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$，確定橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）先利用向量知識，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，求出直線方程，通過表示出面積，即可求得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意橢圓的焦點到長軸兩個頂點的距離分別為2+$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$，
可知$\left\{\begin{array}{l}{a+c=2+\sqrt{3}}\\{a-c=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，∴a=2，c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（Ⅱ）△AOB的面積為定值1．
∵向量$\overrightarrow{m}$=（ax₁，by₁），$\overrightarrow{n}$=（ax₂，by₂），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
∴a²x₁x₂+b²y₁y₂=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0
直線l斜率為1，設(shè)直線l的方程為y=x+r，代入橢圓方程，可得5x²+2rx+r²-4=0
∴x₁+x₂=-$\frac{2r}{5}$，x₁x₂=$\frac{{r}^{2}-4}{5}$
∵4x₁x₂+y₁y₂=0
∴5x₁x₂+r（x₁+x₂）+r²=0
∴r²-4-$\frac{2{r}^{2}}{5}$+r²=0
∴r²=$\frac{5}{2}$，
∴△=16（k²-r²+4）＞0
設(shè)原點O到直線l的距離為d，則S_△AOB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\sqrt{2}}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}×\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$=1．
綜上可知，△AOB的面積為：1．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．