Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P（x，y）不是原點(diǎn)時，定義P的“伴隨點(diǎn)”為P′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），當(dāng)P是原點(diǎn)時，定義“伴隨點(diǎn)”為它自身，現(xiàn)有下列命題：
?①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′，則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A．
?②單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上．
?③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對稱
④若三點(diǎn)在同一條直線上，則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線．
其中的真命題是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義，分別進(jìn)行判斷即可，對應(yīng)不成立的命題，利用特殊值法進(jìn)行排除即可．

解答 解：①設(shè)A（0，1），則A的“伴隨點(diǎn)”為A′（1，0），
而A′（1，0）的“伴隨點(diǎn)”為（0，-1），不是A，故①錯誤，
②若點(diǎn)在單位圓上，則x²+y²=1，
即P（x，y）不是原點(diǎn)時，定義P的“伴隨點(diǎn)”為P（y，-x），
滿足y²+（-x）²=1，即P′也在單位圓上，故②正確，
③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，設(shè)P（x，y），對稱點(diǎn)為Q（x，-y），
則Q（x，-y）的“伴隨點(diǎn)”為Q′（-$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），
則Q′（-$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）與P′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）關(guān)于y軸對稱，故③正確，
④∵（-1，1），（0，1），（1，1）三點(diǎn)在直線y=1上，
∴（-1，1）的“伴隨點(diǎn)”為（$\frac{1}{1+1}$，$\frac{1}{1+1}$），即（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
（0，1）的“伴隨點(diǎn)”為（1，0），（1，1的“伴隨點(diǎn)”為（$\frac{1}{1+1}$，-$\frac{1}{1+1}$），即（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
則（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（1，0），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）三點(diǎn)不在同一直線上，故④錯誤，
故答案為：②③

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，正確理解“伴隨點(diǎn)”的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．