Question

直線l₁過(guò)（1，0）點(diǎn)，且l₁關(guān)于直線y=x對(duì)稱直線為l₂，已知點(diǎn)A(n，

an+1

an

)（n∈N⁺）在l₂上，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²．
（Ⅰ）求l₂的方程；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)l₂的方程為：y=kx+b，，由l₁，l₂關(guān)于直線y=x對(duì)稱，及l(fā)₁過(guò)點(diǎn)（1，0）可得l₂過(guò)點(diǎn)（0，1），可求b
再由An (n，

an+1

an

)在直線l₂上，可得

a2

a1

=k+1，

a3

a2

=2k+1，k=

a3

a2

-

a2

a1

．及

an+1

an

-

an

an-1

=1可求k
（Ⅱ）由

an+1

an

-

an

an-1

=1，可知{

an+1

an

}是首項(xiàng)為

a2

a1

，公差為1的等差數(shù)列．從而可得

an+1

an

=2+(n-1)×1=n+1，利用疊乘法可求

解答：解：（Ⅰ）設(shè)l₂的方程為：y=kx+b，
又l₁，l₂關(guān)于直線y=x對(duì)稱，l₁過(guò)點(diǎn)（1，0），∴l(xiāng)₂過(guò)點(diǎn)（0，1），∴b=1．
又∵An (n，

an+1

an

)在直線l₂上，取n=1，2得：

a2

a1

=k+1，

a3

a2

=2k+1，∴k=

a3

a2

-

a2

a1

．
∵a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²，∴

an+1

an

-

an

an-1

=1（n∈N，n≥2），
∴k=

a3

a2

-

a2

a1

=1，∴l(xiāng)₂的方程為y=x+1．
（Ⅱ）由

an+1

an

-

an

an-1

=1，可知{

an+1

an

}是首項(xiàng)為

a2

a1

，公差為1的等差數(shù)列．
∵A1(1，

a2

a1

)在直線l₂上，∴

a2

a1

=2．∴

an+1

an

=2+(n-1)×1=n+1，
∴an=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a2

a1

×a1=n×(n-1)×…×2×1=n!

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的疊乘求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，疊加與疊乘法的求解中要注意所寫的式子的個(gè)數(shù)的判斷是解題中的易錯(cuò)點(diǎn)