Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，若a＞b＞c且f（1）=0，
（1）證明f（x）的圖象與x軸有兩個交點；
（2）證明函數(shù)f（x）的一個零點小于-

1

2

；
（3）若f（m）=-a，試判斷f（m+3）的符號，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）欲證證明f（x）的圖象與x軸有兩個交點，只須由△＞0得圖象與x軸有兩個交點即可；
（2）先由b=-a-c，a＞b＞c得a＞-a-c＞c且a＞0，所以有a+2c＜0從而得出f(-

1

2

)=

3

4

(a+2c)＜0，而拋物線f（x）開口向上，所以函數(shù)f（x）必有一個零點小于-

1

2

．
（3）先設f（x）=0的根為x₁，x₂，（x₁＜x₂）；由公式：|x1-x2|=

b2-4ac

|a|

及不等式的性質(zhì)得到|x1-x2|=|

c

a

-1|＜3．又f（m）=-a＜0從而推得（m+3）＞f（x₂）=0．

解答：解：由f（1）=0得a+b+c=0，即b=-a-c
（1）證明：因為a＞b＞c，所以△=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²＞0
所以f（x）的圖象與x軸有兩個交點．
（2）證明：由b=-a-c，a＞b＞c得a＞-a-c＞c且a＞0，所以有a+2c＜0，（7分）
所以f(-

1

2

)=

3

4

(a+2c)＜0，而拋物線f（x）開口向上，所以函數(shù)f（x）必有一個零點小于-

1

2

．
（3）設f（x）=0的根為x₁，x₂，（x₁＜x₂）；
則|x1-x2|=

b2-4ac

|a|

=

(-a-c)2-4ac

a

=

( c a )2-2• c a +1

=|

c

a

-1|；
又∵0=a+b+c＞a+2c?

c

a

＜-

1

2

，0=a+b+c＜2a+c?

c

a

＞-2，∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．∴|x1-x2|=|

c

a

-1|＜3．
又f（m）=-a＜0，∴x₁＜m＜x₂?m+3＞x₂?f（m+3）＞f（x₂）=0．

點評：本題屬代數(shù)推理題，將二次函數(shù)、二次方程與不等式結(jié)合起來考查．探求二次函數(shù)背景下的不等式問題，實質(zhì)是將二次函數(shù)的有關性質(zhì)進行適當轉(zhuǎn)化．