Question

某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商投資81萬(wàn)元建一座寫字樓，第一年維修費(fèi)為1萬(wàn)元，以后每年增加2萬(wàn)元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬(wàn)元．
（Ⅰ）若扣除投資和各種維修費(fèi)，則從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？
（Ⅱ）若干年后開(kāi)發(fā)商為了投資其他項(xiàng)目，有兩種處理方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí)以47萬(wàn)元出售該樓； ②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以10萬(wàn)元出售該樓，問(wèn)哪種方案盈利更多？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)第n年獲取利潤(rùn)為y萬(wàn)元，n年共收入租金30n萬(wàn)元．付出裝修費(fèi)共n+

n(n-1)

2

×2=n2，付出投資81萬(wàn)元，由此可知利潤(rùn)y=30n-（81+n²），由y＞0能求出從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)．
（Ⅱ）①利用基本不等式進(jìn)行求解，②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以10萬(wàn)元出售，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)第n年獲取利潤(rùn)為y萬(wàn)元
n年共收入租金30n萬(wàn)元，付出維修費(fèi)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
共n+

n(n-1)

2

×2=n2
因此利潤(rùn)y=30n-（81+n²），------------（4分）
令y＞0解得：3＜n＜27，
所以從第4年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)．------------（6分）
（Ⅱ）年平均利潤(rùn)W=

30n-(81+n2)

n

=30-

81

n

-n≤30-2

81

=12（當(dāng)且僅當(dāng)

81

n

=n，即n=9時(shí)取等號(hào)）
所以9年后共獲利潤(rùn)：12×9+47=155（萬(wàn)元）------------（8分）
利潤(rùn)y=30n-（81+n²）=-（n-15）²+144
所以15年后共獲利潤(rùn)：144+10=154 （萬(wàn)元）------------（10分）
方案①獲利多且時(shí)間比較短，所以選擇方案①．-------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，同時(shí)考查了利基本不等式求函數(shù)的最值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．