Question

4．已知函數(shù)f（x）=4lnx-2x²+3ax
（1）當a=1時，求f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-3ax+m在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)g（x）=f（x）-3ax+m在[$\frac{1}{e}$，e]上的極值和最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=4lnx-2x²+3x，
則f′（x）=$\frac{4}{x}$-4x+3，切點坐標為（1，1），
切線斜率k=f′（1）=3，
則函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y-1=3（x-1），
即y=3x-2；
（2）g（x）=f（x）-3ax+m=4lnx-2x²+m，
則g′（x）=$\frac{-4（x+1）（x-1）}{x}$，
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
∴由g′（x）=0，得x=1，
當$\frac{1}{e}$＜x＜1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當1＜x＜e時，g′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故當x=1時，函數(shù)g（x）取得極大值g（1）=m-2，
g（$\frac{1}{e}$）=m-4-$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（e）=m+4-2e²，
g（e）-g（$\frac{1}{e}$）=8-2e²+$\frac{2}{{e}^{2}}$＜0，
則g（e）＜g（$\frac{1}{e}$），
∴g（x）=f（x）-3ax+m在[$\frac{1}{e}$，e]上最小值為g（e），
要使g（x）=f（x）-3ax+m在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=m-2＞0}\\{g（\frac{1}{e}）=m-4-\frac{2}{{e}^{2}}≤0}\end{array}\right.$，
解得2＜m≤4+$\frac{2}{{e}^{2}}$，
故實數(shù)m的取值范圍是（2，4+$\frac{2}{{e}^{2}}$]．

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值問題，考查學生的計算能力．