Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且cos（A+C）=

1

2

，a=2csinA．
（1）求cosC的值；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）=sin2x+4cosAcos²x的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式及內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)cos（A+C）求出cosB的值小于0，得到B為鈍角，求出B度數(shù)，利用正弦定理化簡(jiǎn)a=2csinA，求出sinC的值，確定出C度數(shù)，即可求出cosC的值；
（2）由B與C的度數(shù)求出A的度數(shù)，代入f（x）中變形，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出f（x）最大值．

解答：解：（1）∵cos（A+C）=-cosB=

1

2

，
即cosB=-

1

2

，
∴B=120°，
利用正弦定理化簡(jiǎn)a=2csinA得：sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinC=

1

2

，
∴C=30°，
則cosC=cos30°=

3

2

；
（2）∵B=120°，C=30°，∴A=30°，
∴f（x）=sin2x+4cosAcos²x=sin2x+2

3

•

1+cos2x

2

=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
即0≤2sin（2x+

π

3

）+

3

≤2+

3

，
則f（x）的最大值為2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．