Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，sin2x+1），$\overrightarrow$=（2sinx，1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2sin²x+sin2x+1，利用二倍角公式化簡求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，由T=$\frac{2π}{ω}$可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求得2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，寫出$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）的取值范圍，求出y的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2sin²x+sin2x+1=sin2x-（1-2sin²x）+2=sin2x-cos2x+2
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，
函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴-1≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
∴1≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$+2，
函數(shù)f（x）的值域[1，$\sqrt{2}$+2]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換，求三角函數(shù)的周期和值域，屬于中檔題．