Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，
  （i）證明：當(dāng)a＞2時(shí)，在（0，+∞）上恰有一個(gè)x₀使得g（x₀）=0；
  （ii）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）（i）確定函數(shù)g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增，即可證得結(jié)論；
（ⅱ）先確定a＞2，設(shè)f（x）在[0，2]上最大值為M，則M=max{f（0），f（2）}，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x+1，f'（x）=xe^x--------------------------------------（2分）
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，x＜0；當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，x＞0
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（-∞，0）；增區(qū)間是（0，+∞）-------------------------（4分）
（2）證明：（�。ゞ（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），g'（x）=e^x（x-a+2）------------------（5分）
當(dāng)g'（x）＜0時(shí)，x＜a-2；當(dāng)g'（x）＞0時(shí)，x＞a-2
因?yàn)閍＞2，所以函數(shù)g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增-----------------（7分）
又因?yàn)間（0）=0，g（a）=e^a+a-1＞0，
所以在（0，+∞）上恰有一個(gè)x₀使得g（x₀）=0．--------------------------------------------------（9分）
（ⅱ）解：若a≤2，可得在x∈[0，2]時(shí)，g（x）≥0，從而f（x）在[0，2]內(nèi)單調(diào)遞增，而f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，不符題意．-------------------------------------------------（10分）
∴a＞2
由（�。┲猣（x）在（0，x₀）遞減，（x₀，+∞）遞增，
設(shè)f（x）在[0，2]上最大值為M，則M=max{f（0），f（2）}，
若對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，則

f(0)≤0 f(2)≤0

，------------------------------------（13分）
由f（2）≤0得（2-a）e²+2a-2+a≤0，∴a≥

2e2-2

e2-3

=2+

4

e2-3

＞2，
又f（0）=0，∴a≥

2e2-2

e2-3

．---------------------------------------------------------（15分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查恒成立問題，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．