Question

17、如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E，F(xiàn)分別為線段AC₁，A₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥面BCC₁B₁； 
（2）求證：BE⊥面AB₁C₁；
（3）在線段BC₁上是否存在一點(diǎn)G，使平面EFG∥平面ABB₁A₁，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：EF∥A₁A，所以可得EF∥B₁B，再根據(jù)線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）根據(jù)題意可得：BC⊥平面ABC₁，進(jìn)而得到BE⊥BC，即得到BE⊥B₁C₁，因?yàn)锳B=BC₁，E為AC₁的中點(diǎn)，所以BE⊥AC₁，由線面垂直的判定定理可得線面垂直．
（3）取BC₁中點(diǎn)為G，連接GE、GF，由題意可得：GE∥AB，所以EG∥平面A₁B₁BA．同理可證：EF∥平面A₁B₁BA．再根據(jù)面面平行的判定定理可得面面平行．

解答：證明：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段AC₁，A₁C₁的中點(diǎn)，
所以EF∥A₁A．
因?yàn)锽₁B∥A₁A，
所以EF∥B₁B．
又因?yàn)镋F?平面BCC₁B₁，B1B?BCC₁B₁，
所以EF∥面BCC₁B₁．
（2）因?yàn)锽C⊥BC₁，AB⊥BC，AB∩C₁B=B，
所以BC⊥平面ABC₁．
因?yàn)锽E?平面ABC₁，所以BE⊥BC．
又因?yàn)锽C∥B₁C₁，所以BE⊥B₁C₁．
因?yàn)锳B=BC₁，E為AC₁的中點(diǎn)，
所以BE⊥AC₁．
因?yàn)锳C₁∩B₁C₁=C₁，
所以BE⊥面AB₁C₁．
（3）取BC₁中點(diǎn)為G，連接GE、GF，
又因?yàn)镋為AC₁的中點(diǎn)，
所以GE∥AB．
因?yàn)镋G?平面A₁B₁BA，AB?平面A₁B₁BA，
所以EG∥平面A₁B₁BA．
同理可證：EF∥平面A₁B₁BA．
又因?yàn)镋F∩EG=E，
所以平面EFG∥平面ABB₁A₁．
所以在線段BC₁上是存在一點(diǎn)G，使平面EFG∥平面ABB₁A₁．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)線線、線面、面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理．