Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-（2a+2）
（Ⅰ）解關于x的不等式f（x）＞x；
（Ⅱ）若f（x）+3≥0在區(qū)間（-1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)一元二次不等式的解法即可解不等式f（x）＞x；
（Ⅱ）根據(jù)不等式恒成立，轉化為求函數(shù)的最值即可得到結論．

解答： 解（Ⅰ）由f（x）＞x得x²-（2a+1）x-（2a+2）＞0，即（x-2a-2）（x+1）＞0，
當2a+2＞-1，即a＞-

3

2

時，原不等式的解為x＞2a+2或x＜-1，
當2a+2=-1，即a=-

3

2

時，原不等式的解為x∈R且x≠-1，
當2a+2＜-1，即a＜-

3

2

時，原不等式的解為x＞-1或x＜2a+2．
綜上，當a＞-

3

2

時，原不等式的解集為{x|x＞2a+2或x＜-1}；
當a=-

3

2

時，解集為{x|x∈R且x≠-1}；
當a＜-

3

2

時，解集為{x|x＞-1或x＜2a+2}．
（Ⅱ）由f（x）+3≥0得x²-2a（x+1）+1≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即2a≤(

x2+1

x+1

)min在（-1，+∞）上恒成立．
令t=x+1（t＞0），則

x2+1

x+1

=

(t-1)2+1

t

=t+

2

t

-2≥2

2

-2，
當且僅當t=

2

等號成立
∴(

x2+1

x+1

)min?=2

2

-2，
∴2a≤2

2

-2，即a≤

2

-1．
故實數(shù)a的取值范圍是(-∞，

2

-1]．

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵，考查的計算能力．