Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-2a|
（Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若對任意x∈R，不等式f（x）≥a²-3a-3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的幾何意義，寫出分段函數(shù)，即可解f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）先用絕對值三角不等式將問題等價為：f（x）_min=|a||≥a²-3a-3，再分類討論求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=|x-1|+|x-2|．
x≤1時，f（x）=-x+1-x+2=3-2x，由不等式f（x）＞2可得x＜$\frac{1}{2}$；
1＜x＜2時，f（x）=x-1-x+2=1由不等式f（x）＞2可得x∈∅；
x≥2時，f（x）=x-1+x-2=2x-3，由不等式f（x）＞2可得x＞$\frac{5}{2}$；
∴不等式f（x）＞2的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）因為不等式f（x）≥a²-3a-3對x∈R恒成立，
所以，f（x）_min≥a²-3a-3，
根據(jù)絕對值三角不等式，|x-a|+|x-2a|≥|（x-a）-（x-2a）|=|a|，
即f（x）_min=|a|，所以，|a||≥a²-3a-3，分類討論如下：
①當a≥0時，a≥a²-3a-3，即a²-4a-3≤0，∴2-$\sqrt{7}$≤a≤2+$\sqrt{7}$，此時0≤a≤2+$\sqrt{7}$；
②當a＜0時，-a≥a²-3a-3，即a²-2a-3≤0，∴-1≤a≤3，此時-1≤a＜0．
綜合以上討論得，實數(shù)a的取值范圍為：[-1，2+$\sqrt{7}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．