Question

解方程x⁴+1=0，并證明它的四個根為一個正方形的四個頂點

Answer 1

解：∵x⁴=-1=cosπ+isinπ，
∴x=cos，k=0，1，2，3．
x₁=cos．
x₂=cos．
x₃=cos．
x₄=cos．
在復平面內(nèi)（x為實軸，y為虛軸）
分別用A、B、C、D四點來表示四個根x₁、x₂、x₃、x₄（如圖）
即A（），B（-），
C（-），D（）
∵A、B關于y軸對稱，A、D關于x軸對稱，∴∠A=90°，
同理，∠B=∠C=∠D=90°
且|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=．
∴ABCD是正方形，而A、B、C、D是頂點．
分析：將-1寫為復數(shù)的三角形式，由方程的復數(shù)跟的表達式直接求出四個根，再由復數(shù)的幾何意義找出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點，進行證明即可．
點評：本題考查方程的復數(shù)跟的求解、復數(shù)的三角形式、復數(shù)的幾何意義等知識，考查計算能力．