Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圓C₂：x²+y²=r²（r＞0）都過點P（-1，0），且橢圓C₁離心率為

2

2

，過點P作斜率為k₁，k₂的直線分別交橢圓C₁、圓C₂于點A、B、C、D（如圖），k₁=2k₂．
（1）求橢圓C₁和圓C₂的方程；
（2）求證：直線BC恒過定點．

Answer 1

分析：（1）直接把定點代入圓的方程求圓的半徑，利用橢圓過定點得到a的值，代入離心率后求得c的值，結合b²=a²-c²求得b的值，則圓與橢圓的方程可求；
（2）設出直線AB和CD的方程，分別和圓與橢圓聯(lián)立后求出A，B，C，D的坐標，求出BC的斜率（用k₂）表示，由點斜式寫出直線BC的方程后可得直線BC恒過定點．

解答：（1）解：由圓C₂：x²+y²=r²（r＞0）過點P（-1，0），得到r²=1，
所以圓C₂的方程為x²+y²=1．
由橢圓C₁離心率為e=

c

a

=

2

2

，
由橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點P（-1，0），得

1

a2

=1，
所以a=1，代入

c

a

=

2

2

，得c=

2

2

，
所以b2=a2-c2=

1

2

．
所以橢圓C₁的方程為x²+2y²=1；
（2）證明：由題意可設直線AB的方程為y=k₁（x+1），直線CD的方程為y=k₂（x+1）．
由

x2+2y2=1 y=k1(x+1)

⇒(1+2

k

2 1

)x2+4k1x+2

k

2 1

-1=0，A(-1+

2

1+2 k 2 1

，

2k1

1+2 k 2 1

)．
由

x2+y2=1 y=k1(x+1)

⇒(1+

k

2 1

)x2+2k1x+

k

2 1

-1=0，B(-1+

2

1+ k 2 1

，

2k1

1+ k 2 1

)．
同理可得：C(-1+

2

1+2 k 2 2

，

2k2

1+2 k 2 2

)，D(-1+

2

1+ k 2 2

，

2k2

1+ k 2 2

)，
所以kBC=

2k2 1+2k22 - 2k1 1+2k12

-1+ 2 1+2k22 +1- 2 1+2k12

，因為k₁=2k₂，所以kBC=-

1

2k2

，
所以直線BC的方程為y-

2k2

1+k22

=-

1

2k2

(x+1-

2

1+k22

)．
即y=-

1

2k2

(x-1)，恒過定點（1，0）．

點評：本題考查了圓與橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線的關系問題，往往需要涉及繁雜的計算，這就需要學生有較強的運算能力，屬難題．