【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,BC⊥CD,點P在底面ABCD上的射影為A,BC=CD= AD=1,E為棱AD的中點,M為棱PA的中點.
(1)求證:BM∥平面PCD;
(2)若∠ADP=45°,求二面角A﹣PC﹣E的余弦值.
【答案】
(1)證明:法一:取PD的中點N,連接MN,CN.
在△PAD中,N、M分別為棱PD、PA的中點∴
∵ ∴四邊形BCNM是平行四邊形∴BM∥CN
∵BM平面PCD,CN平面PCD∴BM∥平面PCD…(5分)
(法二:連接EM,BE.
在△PAD中,E、M分別為棱AD、PA的中點∴MN∥PD
∵AD∥BC,
∴四邊形BCDE是平行四邊形∴BE∥CD∵BE∩ME=E,MN∥PD,BE∥CD
∴平面BEM∥平面PCD∵BM平面BEM∴BM∥平面PCD)
(2)以A為原點,以 , 的方向分別為x軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz…(6分)
則A(0,0,0),C(2,1,0),E(1,0,0).
∵點P在底面ABCD上的射影為A
∴PA⊥平面ABCD
∵∠ADP=45°∴PA=AD=2
∴P(0,0,2)
∴ , ,
設(shè)平面PAC的一個法向量 ,
則
設(shè)a=1,則
設(shè)平面PCE的一個法向量為 ,
則 ,
設(shè)x=2,則
∴cos = =
由圖知:二面角A﹣PC﹣E是銳二面角,設(shè)其平面角為θ,則
cosθ=|cos |=
【解析】(1.)法一:取PD的中點N,連接MN,CN.證明BM∥CN,然后證明BM∥平面PCD. (法二:連接EM,BE.通過證明平面BEM∥平面PCD,然后證明BM∥平面PCD)(2.)以A為原點,以 , 的方向分別為x軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz求出相關(guān)點的坐標(biāo),求出平面PAC的一個法向量,平面PCE的一個法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解二面角A﹣PC﹣E的余弦函數(shù)值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定,需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組一次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人數(shù)是15人,則該班的學(xué)生人數(shù)是( )
A.45
B.50
C.55
D.60
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F是雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦點,A,B分別為其左、右頂點.O為坐標(biāo)原點,D為其上一點,DF⊥x軸.過點A的直線l與線段DF交于點E,與y軸交于點M,直線BE與y軸交于點N,若3|OM|=2|ON|,則雙曲線的離心率為( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+1,數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 且b1=2,Tn=bn+1﹣2(n∈N).
(1)分別求{an},{bn}的通項公式;
(2)定義x=[x]+(x),[x]為實數(shù)x的整數(shù)部分,(x)為小數(shù)部分,且0≤(x)<1.記cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代有計算多項式值的秦九韶算法,如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=3,n=3,輸入的a依次為由小到大順序排列的質(zhì)數(shù)(從最小質(zhì)數(shù)開始), 直到結(jié)束為止,則輸出的s=( )
A.9
B.27
C.32
D.103
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x﹣2|,不等式f(x)≥t對x∈R恒成立.
(1)求t的取值范圍;
(2)記t的最大值為T,若正實數(shù)a,b滿足a2+b2=T,求證: ≤ .
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【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=﹣f(x),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=2x﹣1,則( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】下列命題中,錯誤的命題個數(shù)有( )
①是為奇函數(shù)的必要非充分條件;
②函數(shù)是偶函數(shù);
③函數(shù)的最小值是;
④函數(shù)的定義域為,且對其內(nèi)任意實數(shù)、均有:,則在上是減函數(shù).
A.B.C.D.
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【題目】司機在開機動車時使用手機是違法行為,會存在嚴(yán)重的安全隱患,危及自己和他人的生命.為了研究司機開車時使用手機的情況,交警部門調(diào)查了100名機動車司機,得到以下統(tǒng)計:在55名男性司機中,開車時使用手機的有40人,開車時不使用手機的有15人;在45名女性司機中,開車時使用手機的有20人,開車時不使用手機的有25人.
(Ⅰ)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為開車時使用手機與司機的性別有關(guān);
開車時使用手機 | 開車時不使用手機 | 合計 | |
男性司機人數(shù) | |||
女性司機人數(shù) | |||
合計 |
(Ⅱ)以上述的樣本數(shù)據(jù)來估計總體,現(xiàn)交警部門從道路上行駛的大量機動車中隨機抽檢3輛,記這3輛車中司機為男性且開車時使用手機的車輛數(shù)為X,若每次抽檢的結(jié)果都相互獨立,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).
參考公式與數(shù)據(jù): ,其中n=a+b+c+d.
P(Χ2≥k0) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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