Question

設(shè)F為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點，過原點的直線與該雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點，且

AF

•

BF

=0，若∠ABF=

π

6

，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  6

• D、

  3

  +1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由

AF

•

BF

=0，∠ABF=

π

6

，則△ABF為直角三角形，且AB=2AF，由于OA=OB=OF=c，且∠BAF=60°，則三角形OAF為等邊三角形，可設(shè)A在第一象限，則A（

c

2

，

3 c

2

），代入雙曲線方程，結(jié)合離心率公式，計算即可得到．

解答： 解：由

AF

•

BF

=0，∠ABF=

π

6

，
則△ABF為直角三角形，且AB=2AF，
由于OA=OB=OF=c，
且∠BAF=60°，
則三角形OAF為等邊三角形，
可設(shè)A在第一象限，則A（

c

2

，

3 c

2

），
代入雙曲線方程可得，

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，即為

c2

4a2

-

3c2

4(c2-a2)

=1，
即有

1

4

e²-

3

4

•

e2

e2-1

=1，
解得e²=4+2

3

或4-2

3

（由e＞1，舍去），
則e=1+

3

．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，重點考查離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．