Question

從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)M向x軸作垂線恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB平行于OM，又Q是橢圓上任一點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求∠F₁QF₂的范圍；
（3）當(dāng)QF₂⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF₂與橢圓交于另一點(diǎn)P，若△F₁PQ的面積為20

3

，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），可得M的坐標(biāo)，利用AB∥OM，即可得到橢圓的離心率；
（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，可得0≤cos∠F₁QF₂≤1，從而可確定∠F₁QF₂的范圍；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），確定直線F₂Q的方程：y=

2

（x-c）與橢圓聯(lián)立

y= 2 (x-c) x2+2y2=2c2

，利用韋達(dá)定理，求得弦長(zhǎng)公式，F(xiàn)₁到直線y=

2

(x-c)的距離，根據(jù)△F₁PQ的面積為20

3

，即可得到橢圓的方程．

解答：解：（1）∵過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），∴M(-c，

b2

a

)，
∵AB∥OM，所以k_AB=k_OM，即-

b

a

=-

b2

ac

，從而得到b=c，a=

2

c，
∴離心率e=

2

2

．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n
∴cos∠F1QF2=

m2+n2-4c2

2mn

=

4a2-4c2-2mm

2mn

=

2b2

mn

-1，
又因?yàn)?span id="ose6044" class="MathJye">mn≤(

m+n

2

)2=a2，所以0≤cos∠F₁QF₂≤1，所以∠F1QF2∈[0，

π

2

]．
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵kAB=-

2

2

，所以kF2Q=

2

，所以直線F₂Q的方程：y=

2

（x-c）
直線與橢圓聯(lián)立

y= 2 (x-c) x2+2y2=2c2

，消元可得5x²-8cx+2c²=0
∴△=24c²＞0，x1+x2=

8c

5

，x1x2=

2

5

c2，
由弦長(zhǎng)公式可得|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

3

64c2 25 -4× 2 5 c2

=

6 2

5

c，
又因?yàn)镕₁到直線y=

2

(x-c)的距離d=

2 6

3

c，
因?yàn)?span id="qgegesg" class="MathJye">S=

1

2

×

2 6

3

×

6 2

5

c2=

4 3

5

c2=20

3

，所以c²=25，b²=25，a²=50，
所以橢圓的方程為

x2

50

+

y2

25

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率，考查余弦定理的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓聯(lián)立，確定三角形的面積．