在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C所對的邊長，已知a=2
3
且tan
A+B
2
+tan
C
2
=4，sinBsinC=cos2
A
2
．
求A，B及b，c．
分析：先根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將tan
A+B
2
+tan
C
2
=4轉(zhuǎn)化為C的關(guān)系，再由sinBsinC=cos2
A
2
確定角A的范圍，再由三角函數(shù)的兩角和與差的正弦公式求出A的值，進而得到B的值，最后根據(jù)正弦定理可求b，c的值．
解答：解：∵A+B+C=π∴A+B=π-C
∵tan
A+B
2
+tan
C
2
 =4∴tan(
π
2
-
C
2
)+tan 
C
2
=4
∴
cos
C
2
sin
C
2
+
sin
C
2
cos
C
2
=
1
sin
C
2
cos
C
2
=
2
sinC
=4
∴sinC=
1
2

∵sinBsinC=cos2
A
2
∴sinB×
1
2
=
cosA+1
2
∴sinB=1+cosA
∴cosA＜0∴A為鈍角，B、C為銳角
∵sinC=
1
2
∴cosC=
3
2
，C=30°
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
3
2
sinA+
1
2
cosA=1+cosA
∴
3
2
sinA-
1
2
cosA=sin(A-30°)=1
∴A-30°=90°∴A=120°
∴B=180°-A-C=30°
根據(jù)正弦定理可得b=
a
sinA
•sinB=
2
3
sin120°
•sin30°=2
c=
a
sinA
•sinC=
2
3
sin120°
•sin30°=2
點評：本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦公式和正弦定理的應(yīng)用．三角函數(shù)部分的公式比較多不容易記，而且還是高考的熱點問題，一定要強化記憶做到熟練掌握．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　　）
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長為20cm，求此三角形的各邊長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個內(nèi)角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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