Question

已知函數(shù)f（x）=+x+（a-1）lnx-15a，其中a＜0，且a≠-1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)a＞-e¹⁰，且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），．…（1分）
（�。┊�(dāng)-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得0＜x＜-a或x＞1；由f'（x）＜0得-a＜x＜1．
故f（x）在（0，-a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a，1）上單調(diào)遞減．…（4分）
（ⅱ）當(dāng)a＜-1時(shí)，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞-a；由f'（x）＜0得1＜x＜-a．
故f（x）分別在（0，1），（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，-a）上單調(diào)遞減． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=a+1-15a=2，∴． …（9分）
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（-a）=-1-a+（a-1）ln（-a）-15a=2，
即-16a-3+（a-1）ln（-a）=0，
下證滿足此式的a不存在．
設(shè)F（x）=16x-3-（x+1）lnx，其中x=-a∈（1，e¹⁰）．
∵，∴F（x）在（1，e¹⁰）上是增函數(shù)，
∴F（x）＞F（1）=13＞0，∴-16a-3+（a-1）ln（-a）＞0．
∴-16a-3+（a-1）ln（-a）=0無(wú)解
綜上，． …（12分）
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）分類討論：當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（1）；當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上的最小值是f（-a），由此可得a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．