Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c與y=x交于A，B兩點且|AB|=3

2

，奇函數(shù)g(x)=

x2+c

x+d

，當x＞0時，f（x）與g（x）都在x=x₀取到最小值．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若y=x與y=k+

1 2 f′(x)

圖象恰有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由y=g(x)=

x2+c

x+d

是奇函數(shù)可得d=0，結(jié)合當x＞0時，f（x）與g（x）都在x=x₀取到最小值，可得b²=4c及（b-1）²-4c=9，解方程組求出各參數(shù)值后，可得f（x），g（x）的解析式；
（2）y=x與y=k+

1 2 f′(x)

，即x-k=

x-2

有兩個不等的實根，即方程x²-（2k+1）x+k²+2=0（x≥2，x≥k）有兩個不等的實根，分k≤2時和k＞2時兩種情況討論，最后綜合討論結(jié)果，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=g(x)=

x2+c

x+d

是奇函數(shù)，
由g（-x）=-g（x）得

x2+c

-x+d

=-

x2+c

x+d

解得d=0，
∴g(x)=x+

c

x

∵x＞0時g（x）有最小值．
∴c＞0，則g(x)=x+

c

x

≥2

c

，當且僅當：x=

c

取到最小值．
∴

c

=-

b

2

，即b²=4c
設A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），|AB|=3

2

，則|x₁-x₂|=3
由x²+bx+c=x得：x²+（b-1）x+c=0
∴（b-1）²-4c=9解得：b=-4，c=4
∴f(x)=x2-4x+4，g(x)=

x2+4

x

…（6分）
（2）∵y=x與y=k+

1 2 f′(x)

，即x-k=

x-2

有兩個不等的實根，
也即方程x²-（2k+1）x+k²+2=0（x≥2，x≥k）有兩個不等的實根．
當k≤2時，有

△＞0 f(2)≥0 2k+1 2 ＞2

，
解得

7

4

＜k≤2．
當k＞2時，有

△＞0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞k

，
不等式組無解．
綜上所述，實數(shù)k的取值范圍為k∈(

7

4

，2]．…（13分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，基本不等式，函數(shù)的零點與方程的根，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．