Question

14．已知p：“a≥$\frac{12}{t+\frac{1}{t}}$對t∈（0，+∞）恒成立”，q：“直線x-2y+a=0與曲線y-1=$\sqrt{4+2x-{x}^{2}}$有2個公共點”，則￢p是q的（　�。�

• A． 必要不充分條件
• B． 充分不必要條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 利用基本不等式求出$\frac{12}{t+\frac{1}{t}}$在t∈（0，+∞）上的最大值，得到a的范圍；再利用數形結合求得直線x-2y+a=0與曲線y-1=$\sqrt{4+2x-{x}^{2}}$有2個公共點的a的范圍，然后結合必要條件、充分條件及充要條件的判斷方法得答案．

解答 解：對于p，∵t∈（0，+∞），
∴$t+\frac{1}{t}≥2$（當且僅當t=1時取“=”），則$\frac{12}{t+\frac{1}{t}}≤6$，
∴a≥6；
對于q，
由曲線y-1=$\sqrt{4+2x-{x}^{2}}$，得（x-1）²+（y-1）²=5（$1-\sqrt{5}≤x≤1+\sqrt{5}$，y≥1），
如圖，當直線x-2y+a=0過（1+$\sqrt{5}$，1）時，有1+$\sqrt{5}-2$+a=0，a=1-$\sqrt{5}$，
由（1，1）到直線x-2y+a=0的距離為d=$\frac{|1-2+a|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，解得a=-4或a=6，
∴要使直線x-2y+a=0與曲線y-1=$\sqrt{4+2x-{x}^{2}}$有2個公共點，
則1-$\sqrt{5}＜a＜6$．
若￢p成立，則a＜6，不一定又q成立，反之，若q成立，即1-$\sqrt{5}＜a＜6$，一定有￢p成立．
則￢p是q的必要不充分條件．
故選：A．

點評 本題考查必要條件、充分條件及充要條件的判斷方法，考查了恒成立問題的求法，體現了數形結合的解題思想方法，屬中檔題．