Question

設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c若函數(shù)f(x)=x2+mx-

1

4

為偶函數(shù)，且f(cos

B

2

)=0．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面積為

3

2

，其外接圓半徑為

2 3

3

，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得m=0，再由f(cos

B

2

)=0可求得角B的大��；
（2）由正弦定理可求得b=2，再利用余弦定理可求得a+c=

6

，從而得到△ABC的周長．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=x2+mx-

1

4

為偶函數(shù)，
∴m=0…2′
又f(cos

B

2

)=0，
∴cos2

B

2

=

1

4

，即

1+cosB

2

=

1

4

…4′
∴cosB=-

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

2π

3

…6′
（2）∵△ABC的外接圓半徑為

2 3

3

，
∴由正弦定理得：

b

sinB

=

4 3

3

，
∴b=2…8′
又由余弦定理得：a²+c²-2accos

2π

3

=4，即a²+c²+ac=4．
又△ABC的面積為

1

2

acsinB=

3

2

，
∴ac=2…9′
∴a²+c²=2，
∴（a+c）²=6，a+c=

6

，
∴△ABC的周長2+

6

…12′

點評：本題考查正弦定理與余弦定理，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求得B=

2π

3

是關(guān)鍵，著重考查二定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．