Question

在極坐標(biāo)系中，已知某曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=

4

4sin2θ+cos2θ

，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+2sinθ）+6=0
（Ⅰ）求該曲線C的直角坐標(biāo)系方程及離心率e；
（Ⅱ）已知點P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=

4

4sin2θ+cos2θ

即可得出曲線C的直角坐標(biāo)系方程及離心率e；
（II）由

x=ρcosθ y=ρsinθ

知直線l的直角坐標(biāo)系方程為x+2y+6=0．
法一：利用曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosϕ y=sinϕ

，(ϕ為參數(shù)），可設(shè)點P的坐標(biāo)為（2cosϕ，sinϕ）．
則點P到直線l的距離為d=

|2cosϕ+2sinϕ+6|

1+22

=

|2 2 sin(ϕ+ π 4 )+6|

5

．即可得出．
法二：設(shè)與直線l平行且與曲線C相切的直線為x+2y+λ=0．聯(lián)立

x+2y+λ=0 x2 4 +y2=1

消去y整理得2x²+2λx+λ²-4=0．
利用△=0，求得切點，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由

x=ρcosθ y=ρsinθ

知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=

4

4sin2θ+cos2θ

可化為直角坐標(biāo)系方程x²+4y²=4，
即

x2

4

+y2=1．
由于在橢圓方程中a=2，b=1，
∴c=

3

．
故離心率e=

c

a

=

3

2

．
（2）∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ+2sinθ）+6=0，
∴直線l的直角坐標(biāo)系方程為x+2y+6=0．
法一：∵曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosϕ y=sinϕ

，(ϕ為參數(shù)），
∴可設(shè)點P的坐標(biāo)為（2cosϕ，sinϕ）．
則點P到直線l的距離為d=

|2cosϕ+2sinϕ+6|

1+22

=

|2 2 sin(ϕ+ π 4 )+6|

5

．
∴當(dāng)sin(ϕ+

π

4

)=1．
即P(

2

，

2

2

)時，dmax=

2 2 +6

5

=

2 10 +6 5

5

．
法二：設(shè)與直線l平行且與曲線C相切的直線為x+2y+λ=0．
聯(lián)立

x+2y+λ=0 x2 4 +y2=1

消去y整理得2x²+2λx+λ²-4=0．
則△=4λ²-8（λ²-4）=-λ²+8，令△=0得λ=±2

2

．
當(dāng)λ=2

2

時，切點P(

2

，

2

2

)到直線l的距離最大為

2 10 +6 5

5

．

點評：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與橢圓及圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、兩角和差正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．