Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+$\frac{1}{2}$a-1（a∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）＞0在x∈（0，1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，討論①a≥0和②a＜0時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0判斷f（x）單調(diào)增，f′（x）＜0判斷f（x）單調(diào)減；
（2）根據(jù)f（1）=0，討論a≥0和a＜0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判定f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，從而求出滿足題意的a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-lnx+$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+$\frac{1}{2}$a-1（a∈R），x＞0，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$+ax+1-a=$\frac{1}{x}$（x-1）（ax+1）；
討論：①a≥0時(shí)，ax+1＞0恒成立，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
②a＜0時(shí)，若a=-1，則f′（x）=$\frac{a}{x}$（x-1）²≤0恒成立，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
若a＜-1，則0＜-$\frac{1}{a}$＜1，f′（x）=$\frac{a}{x}$（x+$\frac{1}{a}$）（x-1），
當(dāng)0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)-$\frac{1}{a}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
若-1＜a＜0，則-$\frac{1}{a}$＞1，f′（x）=$\frac{a}{x}$（x+$\frac{1}{a}$）（x-1），
當(dāng)0＜x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)1＜x＜-$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
（2）∵f（1）=-ln1+$\frac{1}{2}$a+（1-a）+$\frac{1}{2}$a-1=0，
∴當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，且f（x）＞f（1）=0，滿足題意；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，且f（x）＞f（1）=0，滿足題意；
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，且f（x）＞f（1）=0，滿足題意；
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在x∈（0，-$\frac{1}{a}$）內(nèi)是減函數(shù)，在x∈（-$\frac{1}{a}$，1）是增函數(shù)，且f（1）=0，不滿足題意；
綜上，f（x）＞0在x∈（0，1）上恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了利用分類討論的解題思想求含有字母系數(shù)的不等式解集的問題，是較難的題目．