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19.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),若將f(x)的圖象向右平移一個單位又得到一個奇函數(shù),若f(2)=-1,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)等于( �。�
A.-1B.0C.1D.4

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的關系求出函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),利用函數(shù)周期性以及關系式進行求解即可.

解答 解:f(x)為偶函數(shù),若將f(x)的圖象向右平移一個單位又得到一個奇函數(shù),
即f(x-1)是奇函數(shù),
則f(-x-1)=-f(x-1)=f(x+1),
則-f(x)=f(x+2),
則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù),
∵f(2)=-1,
∴f(2)=-f(0)=-1,則f(0)=1,f(4)=f(0)=1,
∵-f(-3)=f(-3+2),
∴-f(3)=f(1),即f(1)+f(3)=0,
則在一個周期內(nèi)f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
即f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0,
故選:B.

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算,根據(jù)函數(shù)奇偶性的關系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關鍵.考查學生的計算能力.

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A.3B.2C.1D.12

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