Question

過圓x²+y²-6x-8y+21=0上一動點P作圓x²+y²=4的兩條切線，切點分別為A、B，設向量

PA

、

PB

的夾角為θ，則cosθ的取值范圍為（　　）

• A、[

  1

  9

  ，

  41

  49

  ]
• B、[

  1

  9

  ，

  17

  25

  ]
• C、[

  17

  25

  ，

  41

  49

  ]
• D、[

  5

  3

  ，

  3 5

  7

  ]

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：本題通過分析可知，PO最小時，θ最大，cosθ最小，PO最大時，θ最小，cosθ最大，故求出PO的最值，從而求出cosθ的取值范圍，得到本題結論．

解答： 解：∵θ∈（0，π），
∴θ最大，cosθ最小，θ最小，cosθ最大．
∵θ=2∠APO，sin∠APO=

AO

PO

=

2

PO

，
∴|PO|最小時，θ最大，cosθ最小，|PO|最大時，θ最小，cosθ最大．
∵圓O₁：x²+y²-6x-8y+21=0，
∴（x-3）²+（y-4）²=4．
∴O₁O=

32+42

=5，
∴3≤PO≤7，
∴

2

7

≤sin∠AO≤

2

3

，
∴1-2（

2

3

）²≤cosθ≤1-2(

2

7

)2，
即

1

9

≤cosθ≤

41

49

．
故選A．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系以及三角函數值的計算，本題難度不大，屬于基礎題．