Question

實數a，b兩數中最小值用min{a，b}表示，若函數f（x）=min{x²，（x-m）²}（m為常數）的圖象關于直線x=1對稱，則函數f（x）在[0，4]上的值域是

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：根據已知條件及函數的對稱性，求出m，進而得出函數的解析式及已知x的范圍求得y的范圍．

解答： 解：當x=0時，min{x²，（x-m）²}=min{0，m²}=0
∴f（0）=0
∵f（x）=min{x²，（x-m）²}（m為常數）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（2）=f（0）=0
∴min{2²，（2-m）²}=0
根據min{a，b}表的定義，只能有2-m=0
∴m=2
∴f（x）=min{x²，（x-2）²}
①當x∈[0，1]時，|x|＜|x-2|，即x²＜（x-2）²，
則f（x）=min{x²，（x-2）²}=x²，
∵函數f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上單調增，
∴f（x）∈[0，1]
②當x∈[1，4]時，|x|＜|x-2|，即x²＞（x-2）²，
則f（x）=min{x²，（x-2）²}=（x-2）²，
函數f（x）=（x-2）²在區(qū)間[1，4]時，當x=2時有最小值0，當x=4時，f（x）有最大值4，
∴f（x）∈[0，4]
綜合①②可知函數f（x）在[0，4]時，f（x）∈[0，4]
故答案為：[0，4]

點評：本題主要考查了函數的值域問題及分段函數．分段函數的函數值和相關不等式是高考的�？键c．用好分類討論和數形結合的思想，可起到事半功倍的效果．