設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)M（
2
，1），且左焦點(diǎn)為F1(-
2
，0)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）判斷是否存在經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)并且滿足
OA
•
OB
=0，若存在求出直線l的方程，不存在說明理由．
分析：（1）由左焦點(diǎn)為F1（-
2
，0），知c2=a2-b2=2，由橢圓過點(diǎn)M（
2
，1），知
2
a2
+
1
b2
=1，聯(lián)立
a2-b2=2
2
a2
+
1
b2
=1
，能推導(dǎo)出橢圓C方程．
（2）設(shè)直線l為y=kx+2，把y=kx+2代入
x2
4
+
y2
2
=1，并整理，得（2k2+1）x2+8kx+4=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2 =-
8k
2k2+1
，x1x2=
4
2k2+1
，y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=4-
12k2
2k2+1
，由
OA
•
OB
=0，知x1x2+y1y2=0，所以
4
2k2+1
+4-
12k2
2k2+1
=0，由此能求出直線l的方程．
解答：解：（1）∵左焦點(diǎn)為F1（-
2
，0），
∴c2=a2-b2=2，
∵橢圓過點(diǎn)M（
2
，1），
∴
2
a2
+
1
b2
=1，
聯(lián)立
a2-b2=2
2
a2
+
1
b2
=1
，得a2=4，b2=2，
∴橢圓C方程：
x2
4
+
y2
2
=1．
（2）存在經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)并且滿足
OA
•
OB
=0．
設(shè)直線l為y=kx+2，
把y=kx+2代入
x2
4
+
y2
2
=1，并整理，得（2k2+1）x2+8kx+4=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2 =-
8k
2k2+1
，x1x2=
4
2k2+1
，
y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=4-
12k2
2k2+1
，
∵
OA
•
OB
=0，∴
OA
2+
OB
2=
AB
2，
∴x1x2+y1y2=0，
∴
4
2k2+1
+4-
12k2
2k2+1
=0，
解得k=±
2
，
∴直線l為y=
2
x+2或y=-
2
x+2．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓、向量、韋達(dá)定理的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點(diǎn)為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項(xiàng)．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點(diǎn)O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)分別為F1F2，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點(diǎn)的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點(diǎn)F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點(diǎn)．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點(diǎn)A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，D為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案