Question

已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC．
（Ⅰ）求證：AD⊥面SBC；
（Ⅱ）若BC=1，∠ABC=60°，SA=AB，求AB與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由SA⊥面ABC，得BC⊥SA，結合AC⊥BC，利用線面垂直判定定理，證出BC⊥面SAC，從而得到BC⊥AD，再結合SC⊥AD，可得AD⊥面SBC；
（II）連結BD，由AD⊥面SBC，得∠ABD就是AB與平面SBC所成角．再由題中數據算出Rt△ABD中AB=2且BD=，利用三角函數的定義得到cos∠ABD==，得sin∠ABD=，即得AB與平面SBC所成角的正弦值．
解答：解：（I）∵SA⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥SA
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC、SA是面SAC內的相交直線，
∴BC⊥面SAC
又∵AD?面SAC，∴BC⊥AD，
又∵SC⊥AD，且BC、SC是面SBC內的相交直線，
∴AD⊥面SBC；
（II）連結BD
∵AD⊥面SBC，∴BD是AB在平面ADC內的射影，可得∠ABD就是AB與平面SBC所成角
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AB==2，
又∵Rt△ASB中，SA=AB，∴SB=AB=2
因此，Rt△SBC中，SC==3，得中線BD=SC=
Rt△ABD中，cos∠ABD==，得sin∠ABD==
即AB與平面SBC所成角的正弦值是．
點評：本題在特殊三棱錐中證明線面垂直，并求線面所成角的正弦值．著重考查了空間線面垂直的判定與性質、直線與平面所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．