【題目】如圖,在四棱錐中, ,且.
(Ⅰ)當(dāng)時,證明:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)四棱錐的體積為,且二面角為鈍角時,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)取的中點,連接,由正三角形的性質(zhì)可得,由勾股定理可得,根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面,從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面;(Ⅱ)根據(jù)四棱錐的體積為,可得,∴,以為坐標(biāo)原點,以為軸, 軸.在平面內(nèi)過點作垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,算出直線的方向向量與平面的法向量,根據(jù)空間向量夾角的余弦公式可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ)取的中點,連接,
∵為正三角形,∴,
∵,∴,
∵,∴,
∴四邊形為矩形,∴,
在中, , , ,∴,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面.
(Ⅱ)∵, , ,
平面,∴平面,
∵平面,∴平面平面,
∴過點作平面,垂足一定落在平面與平面的交線上.
∵四棱錐的體積為,
∴ ,∴,
∵,∴.
如圖,以為坐標(biāo)原點,以為軸, 軸.
在平面內(nèi)過點作垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
由題意可知, , , , , ,
設(shè)平面的一個法向量為,則,得,
令,則,∴,
,設(shè)直線與平面所成的角為,
則 .
則直線與平面所成角的正弦值為.
【方法點晴】本題主要考查利用線面垂直、面面垂直的判定定理以及空間向量求線面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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【題目】設(shè)α,β為兩個不同平面,a,b為兩條不同直線,下列選項正確的是( 。
①若a∥α,b∥α,則a∥b
②若aα,α∥β,則a∥β
③若α∥β,a∥β,則
④若a∥α,則a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行
⑤若a∥b,則a平行于經(jīng)過b的所有平面
A.①②B.③④C.②④D.②⑤
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【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點、,若其歐拉線方程為,則頂點的坐標(biāo)是( )
參考公式:若的頂點、、的坐標(biāo)分別是、、,則該的重心的坐標(biāo)為.
A.B.,
C.,D.
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【題目】已知定義在上的函數(shù),有下列說法:
(1)函數(shù)滿足則函數(shù)在上不是單調(diào)減函數(shù);
(2)對任意的 函數(shù)滿足則函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù);
(3)函數(shù)滿足則函數(shù)是偶函數(shù);
(4)函數(shù)滿足則函數(shù)不是奇函數(shù).
其中,正確的說法是________(填寫相應(yīng)的序號).
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【題目】如圖,四棱錐,底面為矩形,平面,為的中點.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)二面角為60°,,,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若不等式的解集是,求的值;
(2)當(dāng)時,若不等式對一切實數(shù)恒成立,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時,設(shè),若存在,使得成立,求的取值范圍.
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【題目】某水產(chǎn)品經(jīng)銷商銷售某種鮮魚,售價為每公斤元,成本為每公斤元.銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售.如果當(dāng)天賣不出去,未售出的全部降價處理完,平均每公斤損失元.根據(jù)以往的銷售情況,按,,,,進(jìn)行分組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算該種鮮魚日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表);
(2)該經(jīng)銷商某天購進(jìn)了公斤這種鮮魚,假設(shè)當(dāng)天的需求量為公斤,利潤為元.求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并結(jié)合頻率分布直方圖估計利潤不小于元的概率.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=,an+1=Sn+(n∈N*,t為常數(shù)).
(Ⅰ)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求t的值;
(Ⅱ)若t>﹣4,bn=lgan+1,數(shù)列{bn}前n項和為Tn,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時Tn取最小值,求實數(shù)t的取值范圍.
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