已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，如圖所示．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知M，N為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)H在圓x2+y2=1上，求原點(diǎn)O到直線MN距離的最小值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件得A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（1，0），由
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，推導(dǎo)出b2-a-1=0，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）分類討論，設(shè)點(diǎn)作差，求出MN的方程，可得原點(diǎn)O到直線MN距離，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（Ⅰ）由題意，A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（1，0），
∵
OF
•
FB
=
AB
•
BF
，
∴b2-a-1=0，
∵b2=a2-1，∴a2-a-2=0，解得a=2，
∴a2=4，b2=3，
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），則
x12
4
+
y12
3
=1，
x22
4
+
y22
3
=1，
作差得
(x1+x2)(x1-x2)
4
+
(y1+y2)(y1-y2)
3
=0
①x1=x2時(shí)，y1+y2=0，∴H（x0，0），
∵H在圓x2+y2=1上，
∴x0=±1，則原點(diǎn)O到直線MN距離為1；
②x1≠x2時(shí)，設(shè)直線MN的斜率為k，則
2x0
4
+
2ky0
3
=0，
∴3x0+4ky0=0，且x02+y02=1，
∴x02=
16k2
16k2+9
，y02=
9
16k2+9
，
∴x0y0=-
4
3
ky02=
-12k
16k2+9

設(shè)原點(diǎn)O到直線MN距離為d，則
∵M(jìn)N的方程為y-y0=k（x-x0），即kx-y-kx0+y0=0，
∴d2=
(y0-kx0)2
k2+1
=1-
k2
16k4+25k2+9
，
k=0時(shí)，d2=1；
k≠0時(shí)，d2=1-
1
16k2+
9
k2
+25
≥1-
1
49
=
48
49

∵
48
49
＜1，
∴d2的最小值為
48
49
，即d的最小值為
4
3
7
，此時(shí)k=±
3
2
，
由①②可知，原點(diǎn)O到直線MN距離的最小值
4
3
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)y=sin（2x-θ）的圖象F向右平移
π
6
個(gè)單位長度得到圖象F′，若F′的一個(gè)對(duì)稱中心是（
3
8
π，0），則θ的一個(gè)可能取值是（　　）
A、-
11
12
π
B、
11
12
π
C、-
5
12
π
D、
5
12
π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x-1，0≤x＜1
2f(x-1)，x≥1
，方程f（x）=
1
2
的解從小到大組成數(shù)列{an}．
（Ⅰ）求a1、a2；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的方程為
x2
tanα
+
y2
tan2+1
=1，其中α∈（0，
π
2
）．
（Ⅰ）求橢圓E形狀最圓時(shí)的方程；
（Ⅱ）若橢圓E最圓時(shí)任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在一個(gè)定圓上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M：x2+（y-2）2=1，直線l：y=-1，動(dòng)圓P與圓M相外切，且與直線l相切．設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）定點(diǎn)A（4，2），B，C為E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線AB與直線AC垂直，求證：直線BC恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
m
•
n
，其中向量
m
=（2cosx，1），
n
=（cosx，
3
sin2x），x∈R
（1）求f（x）的最小正周期；   
（2）△ABC中，f（A）=2，a=
3
，b+c=3（b＞c）求b，c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

生活富裕了，農(nóng)民也健身啦，一天，一農(nóng)民夫婦帶著小孩共3人在新農(nóng)村健身房玩?zhèn)髑蛴螒�，持球者將球等可能的傳給其他2人，若球首先從父親傳出，經(jīng)過4次傳球．
（1）求球恰好回到父親手中的概率；
（2）求小孩獲球（獲得他人傳來的球）的次數(shù)為2次的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知圓E：（x+
3
）2+y2=16，點(diǎn)F（
3
，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若命題“?x∈R，x2+2x+m≥0”的否定為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案