Question

3．函數(shù)y=$\frac{（2x+1）^{2}}{（x+1）（4x+1）}$（x≥0）的最小值為$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 化簡y=$\frac{（2x+1）^{2}}{（x+1）（4x+1）}$=1-$\frac{x}{4{x}^{2}+5x+1}$，分類討論以確定函數(shù)值的取值，從而借助不等式求最值．

解答 解：y=$\frac{（2x+1）^{2}}{（x+1）（4x+1）}$=$\frac{4{x}^{2}+4x+1}{4{x}^{2}+5x+1}$=1-$\frac{x}{4{x}^{2}+5x+1}$，
①當x=0時，y=1；
②當x＞0時，y=1-$\frac{x}{4{x}^{2}+5x+1}$
=1-$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}+5}$，
∵4x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{4}$=4，
（當且令當x=$\frac{1}{2}$時，等號成立）；
故0＜$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}+5}$≤$\frac{1}{4+5}$=$\frac{1}{9}$，
故$\frac{8}{9}$≤1-$\frac{1}{4x+\frac{1}{x}+5}$＜1，
綜上所述，函數(shù)y=$\frac{（2x+1）^{2}}{（x+1）（4x+1）}$（x≥0）的最小值為$\frac{8}{9}$，
故答案為：$\frac{8}{9}$．

點評 本題考查了函數(shù)的化簡與應(yīng)用及基本不等式在求最值中的應(yīng)用．