已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0處取得極值
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=-數(shù)學(xué)公式x+b在區(qū)間[0，2]上有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

解：（1）f′（x）=-2x-1，
∵f′（0）=0，∴a=1．
（2）f（x）=ln（x+1）-x2-x
所以問題轉(zhuǎn)化為b=ln（x+1）-x2+x在[0，2]上有兩個不同的解，
從而可研究函數(shù)g（x）=ln（x+1）-x2+x在[0，2]上最值和極值情況．
∵g′（x）=-，
∴g（x）的增區(qū)間為[0，1]，減區(qū)間為[1，2]．
∴gmax（x）=g（1）=+ln2，gmin（x）=g（0）=0，
又g（2）=-1+ln3，
∴當(dāng)b∈[-1+ln3，+ln2）時，方程有兩個不同解．
分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；
（2）f（x）=-x+b在區(qū)間[0，2]上有兩個不同的實根，即b=ln（x+1）-x2+x在區(qū)間[0，2]上有兩個不同的實根，
問題可轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g（x）=ln（x+1）-x2+x在[0，2]上最值和極值情況．利用導(dǎo)數(shù)可以求得，再借助圖象可得b的范圍．
點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件及方程根的個數(shù)問題，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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