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9.已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)={fxx0fxx0 (f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)),若方程g(f(x))=0有四個(gè)不等的實(shí)根,則a的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).

分析 當(dāng)a=0時(shí),可知方程g(f(x))=0有且只有一個(gè)根;當(dāng)a≠0時(shí),化簡(jiǎn)g(x)={x2+axx02x+ax0,從而分類討論求方程的根.

解答 解:當(dāng)a=0時(shí),可知方程g(f(x))=0有且只有一個(gè)根;
當(dāng)a≠0時(shí),
∵f(x)=x2+ax,f′(x)=2x+a;
∴g(x)={x2+axx02x+ax0,
當(dāng)f(x)≥0時(shí),f2(x)+af(x)=0,
∴f(x)=0或f(x)=-a,
即x2+ax=0或x2+ax=-a;
由x2+ax=0可解得x=0或x=-a;
當(dāng)a>0時(shí),方程f(x)=-a無(wú)解;
當(dāng)a<0時(shí),方程f(x)=-a可化為x2+ax+a=0,
而△=a2-4a>0;
故方程x2+ax+a=0有兩個(gè)不同的根,
且0,-a不是方程x2+ax+a=0的根;
當(dāng)f(x)<0時(shí),2f(x)+a=0,
當(dāng)a<0時(shí),方程2x2+2ax+a=0沒有實(shí)數(shù)根;
當(dāng)a>0時(shí),△=4a(a-2),
當(dāng)a=2時(shí),方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
當(dāng)a>2時(shí),方程2x2+2ax+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根;
綜上所述,
當(dāng)a<0或a>2時(shí),方程g(f(x))=0有四個(gè)不等的實(shí)根;
故a的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞);
故答案為:(-∞,0)∪(2,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,同時(shí)考查了分類討論及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

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