Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+ax（a∈R），g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{f′（x），x＜0}\end{array}\right.$ （f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若方程g（f（x））=0有四個(gè)不等的實(shí)根，則a的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 當(dāng)a=0時(shí)，可知方程g（f（x））=0有且只有一個(gè)根；當(dāng)a≠0時(shí)，化簡(jiǎn)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax，x≥0}\\{2x+a，x＜0}\end{array}\right.$，從而分類討論求方程的根．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，可知方程g（f（x））=0有且只有一個(gè)根；
當(dāng)a≠0時(shí)，
∵f（x）=x²+ax，f′（x）=2x+a；
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax，x≥0}\\{2x+a，x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)f（x）≥0時(shí)，f²（x）+af（x）=0，
∴f（x）=0或f（x）=-a，
即x²+ax=0或x²+ax=-a；
由x²+ax=0可解得x=0或x=-a；
當(dāng)a＞0時(shí)，方程f（x）=-a無(wú)解；
當(dāng)a＜0時(shí)，方程f（x）=-a可化為x²+ax+a=0，
而△=a²-4a＞0；
故方程x²+ax+a=0有兩個(gè)不同的根，
且0，-a不是方程x²+ax+a=0的根；
當(dāng)f（x）＜0時(shí)，2f（x）+a=0，
當(dāng)a＜0時(shí)，方程2x²+2ax+a=0沒有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a＞0時(shí)，△=4a（a-2），
當(dāng)a=2時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a＞2時(shí)，方程2x²+2ax+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
綜上所述，
當(dāng)a＜0或a＞2時(shí)，方程g（f（x））=0有四個(gè)不等的實(shí)根；
故a的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞）；
故答案為：（-∞，0）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．