Question

△ABC中，D為BC的中點，滿足∠BAD+∠C=90°，則△ABC的形狀是

1. A.
   等腰三角形
2. B.
   直角三角形
3. C.
   等腰直角三角形
4. D.
   等腰或直角三角形

Answer 1

D
分析：由∠BAD+∠C=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到剩下的兩角相加也為90°，設(shè)∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°-α，∠CAD=90°-β，在三角形ABD和三角形ADC中，分別根據(jù)正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D為BC中點，得到BD=CD，從而得到兩比值相等，列出關(guān)于α和β的關(guān)系式，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范圍，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根據(jù)等角對等邊可得AD=BD=CD，根據(jù)三角形一邊上的中線等于這邊的一半可得三角形ABC為直角三角形；由α+β=90°，可得AD與BC垂直，又D為BC中點，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此時三角形ABC為等腰三角形．
解答：解：∵∠BAD+∠C=90°，
∴∠CAD+∠B=180°-（∠BAD+∠C）=90°，
設(shè)∠BAD=α，∠B=β，則∠C=90°-α，∠CAD=90°-β，
在△ABD和△ACD中，根據(jù)正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，
sin（90°-β）：sin（90°-α）=CD：AD，
又D為BC中點，∴BD=CD，
∴sinα：sinβ=sin（90°-β）：sin（90°-α）=cosβ：cosα，
∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，
∴2α=2β或2α+2β=180°，
∴α=β或α+β=90°，
∴BD=AD=CD或AD⊥CD，
∴∠BAC=90°或AB=AC，
∴△ABC為直角三角形或等腰三角形．
故選D
點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及直角三角形和等腰三角形的判定，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．由∠BAD+∠C=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到剩下的兩角相加也為90°是本題的突破點．