Question

如圖所示，在長方體ABCD-EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M為矩形AEHD內(nèi)的一點，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值為

1

2

，那么點M到平面EFGH的距離是

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以E為原點，EF為x軸，EH為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)M（0，b，c），00≤b≤2，0≤c≤1，利用向量法能求出點M到平面EFGH的距離．

解答： 解：以E為原點，EF為x軸，EH為y軸，EA為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)M（0，b，c），00≤b≤2，0≤c≤1，
則G（1，2，0），F(xiàn)（1，0，0），H（0，2，0），

GM

=（-1，b-2，c），

GF

=（0，-2，0），

GH

=（-1，0，0），
cos＜

GM

，

GF

＞=

4-2b

2 1+(b-2)2+c2

，
cos＜

GM

，

GH

＞=

1

1+(b-1)2+c2

，
∵∠MGF=∠MGH，
∴

4-2b

2 1+(b-2)2+c2

=

1

1+(b-1)2+c2

，解得b=1．
∴

GM

=（-1，-1，c），又平面EFG的法向量

n

=（0，0，1），MG和平面EFG所成角的正切值為

1

2

，
∴|cos＜

GM

，

n

＞|=

c

2+c2

=

1

5

，
由0≤c≤1，解得c=

2

2

，
∴

GM

=（-1，-2，

2

2

），
∴點M到平面EFGH的距離d=

| GM • n |

| n |

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．