（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61，求
a
與
b
的夾角θ；
（2）設
OA
=（2，5），
OB
=（3，1），
OC
=（6，3），在
OC
上是否存在點M，使
MA
⊥
MB
，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
分析：（1）根據(jù)（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61求出
a
•
b
=-6然后再利用向量的夾角公式cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b
|
再結(jié)合＜
a
，
b
＞∈[0，π]即可求出
a
與
b
的夾角θ．
（2）假設存在點M符合題意則可設
OM
=λ
OC
=(6λ，3λ)(0＜λ≤1)即M（6λ，3λ）從而求出
MA
，
MB
再根據(jù)
MA
⊥
MB
利用向量數(shù)量積的坐標計算再結(jié)合0＜λ≤1即可求出λ進而求出點M．
解答：解：（1）∵（2
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）=61
∴4
a
2-4
a
•
b
-3
b
2=61
又∵|
a
|=4，|
b
|=3
∴
a
•
b
=-6．…3分
∴cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=-
1
2

∴θ=120°．…6分
（2）設存在點M，且
OM
=λ
OC
=(6λ，3λ)(0＜λ≤1)
∴
MA
=(2-6λ，5-3λ)，
MB
=(3-6λ，1-3λ)．…8分
∵
MA
⊥
MB

∴
MA
•
MB
=0
∴（2-6λ）（3-6λ）+（5-3λ）（1-3λ）=0，…10分
∴45λ2-48λ+11=0，解得：λ=
1
3
或λ=
11
15

∴
OM
=(2，1)或
OM
=(
22
5
，
11
5
)
∴存在M（2，1）或M(
22
5
，
11
5
)滿足題意．…16分．
點評：本題主要考查了利用數(shù)量積求向量的夾角，屬�？碱}，較易．解題的關鍵是熟記向量的夾角公式cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
||
b
|
同時要注意＜
a
，
b
＞∈[0，π]這一隱含條件以及
MA
⊥
MB
的等價條件
MA
•
MB
=0!
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

16、已知A={4，a2}，B={a-6，1+a，9}，如果A∩B={9}，求A∪B．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知
a
=(4，2)，求與
a
垂直的一個單位向量的坐標．
（2）若|
a
|=2，|
b
|=1，且
a
與
b
的夾角為120°，求|
a
+
b
|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61，求
a
•
b
的值；
（2）設兩個非零向量
e1
和
e2
不共線．如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，
求證：A、B、D三點共線．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（1）已知|
a
|=4，|
b
|=3，(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61，求
a
•
b
的值；
（2）設兩個非零向量
e1
和
e2
不共線．如果
AB
=
e1
+
e2
，
BC
=2
e1
+8
e2
，
CD
=3
e1
-3
e2
，
求證：A、B、D三點共線．

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