設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，其中a為常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求證：數(shù)學公式．

解：（1）因為f（x）=lnx-ax+1的定義域為（0，+∞），，
①當a≤0時，f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
②當a＞0時，令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．
故當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）當a=1時，由（1）知，當x=1時，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，
所以當x＞0時，lnx-x+1≤0，即當x＞0時，lnx≤x-1．
因為n∈N，n≥2，所以lnn2≤n2-1，所以，即，
所以===．
分析：（1）因為f（x）=lnx-ax+1的定義域為（0，+∞），，再結(jié)合a的符號，由導數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）當a=1，x=1時，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，所以當x＞0時，lnx-x+1≤0，即當x＞0時，lnx≤x-1．由此入手能夠證明．
點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．
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相關(guān)習題

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設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2
（I）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln
e2
．

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（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
2x
x+2
，證明：當x＞0時，f（x）＞0；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為P．證明：P＜(
9
10
)19＜
1
e2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•楊浦區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x2-x-6）的定義域為集合A，集合B={x|
5x+1
＞1}．請你寫出一個一元二次不等式，使它的解集為A∩B，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2(a＞
2
)，
（1）若a=
3
2
，解關(guān)于x不等式f(e
x
-
3
2
)＜ln2+
1
4
；
（2）證明：關(guān)于x的方程2x2+2ax+1=0有兩相異解，且f（m）和f（n）分別是函數(shù)f（x）的極小值和極大值（m，n為該方程兩根，且m＞n）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+2x2．
（1）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，方程ln（x+a）+2x2-m=0恰好有三個零點，求m的取值范圍；
（3）當0＜a＜1時，解不等式f（2x-1）＜lna．

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