Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

n-λ

n+1

an，其中λ∈R，n=1，2，…．給出下列命題：
①?λ∈R，對(duì)于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，對(duì)于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，當(dāng)i＞m（i∈N^*）時(shí)總有a_i＜0；
④?λ∈R，使得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
其中正確的命題是

①③④

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①當(dāng)λ≤0時(shí)，能判斷①的正誤；②由ai•ai+1=

i-λ

i+1

ai2＜0，得λ＞i，從而可得λ為變量，由此能判斷②的正誤；③設(shè)λ=3.1，能判斷③的正誤；④當(dāng)λ=-1時(shí)，使得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

解答：解：①：當(dāng)λ≤0時(shí)，

n-λ

n+1

＞0，a₁＞0，a_n＞0，故①正確；
②：由ai•ai+1=

i-λ

i+1

ai2＜0，得λ＞i，從而可得λ為變量，故②錯(cuò)誤；
③：設(shè)λ=3.1，a₂=

1-λ

2

a₁＜0，a₃=

2-λ

3

a₂＞0，a₄=

3-λ

4

a₃＜0，
當(dāng)i＞4時(shí)，

i-λ

5

＞0，從而有a₅＜0，a₆＜0，…a_i＜0，故③正確；
④當(dāng)λ=-1時(shí)，an+1=

n-λ

n+1

an=a_n，
∵

an+1

an

=1
∴使得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式判斷數(shù)列中的項(xiàng)滿足的條件，解題的關(guān)鍵是要能夠靈活利用數(shù)列的綜合知識(shí)．