已知橢圓短軸長為2,P(x,y)(x≠±a)是橢圓上一點,A,B分別是橢圓的左、右頂點,直線PA,PB的斜率之積為
(1)求橢圓的方程;
(2)當∠F1PF2為鈍角時,求P點橫坐標的取值范圍;
(3)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點,M、N是橢圓右準線l上的兩個點,若,求MN的最小值.

【答案】分析:(1)由橢圓的短軸長為2,可得b=1,再由直線PA,PB的斜率之積為,結(jié)合P在橢圓上的特點,列方程可解得a值,從而確定橢圓方程
(2)由余弦定理知∠F1PF2為鈍角的充要條件為,利用焦半徑公式代入列不等式即可解得P點橫坐標的取值范圍
(3)由于M、N在右準線上,故MN的長度即為兩點縱坐標之差的絕對值,利用,得縱坐標積的值,再利用均值定理即可得縱坐標差的絕對值的最小值,進而得MN的最小值
解答:解:(1)∵橢圓短軸長為2,
∴b=1,A(-a,0),B(a,0),=1-=
∴直線PA,PB的斜率之積kPA•kPB===-=-
∴a=2
∴橢圓的方程為
(2)橢圓的a=2,離心率e=
因為∠F1PF2為鈍角,所以
所以,
即(2+x2+(2-x2<12
解得
即P點橫坐標的取值范圍為
(3)橢圓的右準線方程為x==
因為M、N是橢圓右準線l上的兩個點,故設(shè),,
因為,所以F1M⊥F2N.
,即,所以y1,y2異號.
所以,
當且僅當y1=-y2,即取等號.
所以MN的最小值為
點評:本題考查了橢圓的標準方程及其求法,橢圓的離心率,準線,焦點三角形等幾何性質(zhì),向量與解析幾何的綜合,最值問題的解法
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)下列兩題選做一題.
(甲)已知橢圓短軸長為2,中心與拋物線y2=4x的頂點重合,橢圓的一個焦點恰是此拋物線的焦點,求橢圓方程及其長軸的長.
(乙)已知菱形的一對內(nèi)角各為60°,邊長為4,以菱形對角線所在的直線為坐標軸建立直角坐標系,以菱形60°角的兩個頂點為焦點,并且過菱形的另外兩個頂點作橢圓,求橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•鷹潭一模)已知點P是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的點,橢圓短軸長為2,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,|OP|=
10
2
PF1
PF2
=
1
2
(點O為坐標原點).
(Ⅰ)求橢圓C的方程及離心率;
(Ⅱ)直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點,若橢圓C上兩點M、N使
OM
+
ON
OA
,λ∈(0,2)求△OMN面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年江西省鷹潭市高考數(shù)學一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知點P是橢圓C:+=1(a>b>0)上的點,橢圓短軸長為2,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,|OP|=,=(點O為坐標原點).
(Ⅰ)求橢圓C的方程及離心率;
(Ⅱ)直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點,若橢圓C上兩點M、N使+,λ∈(0,2)求△OMN面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:1977年河北省高考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

下列兩題選做一題.
(甲)已知橢圓短軸長為2,中心與拋物線y2=4x的頂點重合,橢圓的一個焦點恰是此拋物線的焦點,求橢圓方程及其長軸的長.
(乙)已知菱形的一對內(nèi)角各為60°,邊長為4,以菱形對角線所在的直線為坐標軸建立直角坐標系,以菱形60°角的兩個頂點為焦點,并且過菱形的另外兩個頂點作橢圓,求橢圓方程.

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