Question

17．已知對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立．若數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=f（{2^n}）（n∈{N^*}）$，且a₁=2，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．

Answer 1

分析 可根據(jù)a_n=f（2ⁿ）再利用對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2ⁿ，y=2得到遞推關(guān)系式a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后兩邊同除以2ⁿ⁺¹可構(gòu)造出數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以 $\frac{{a}_{1}}{2}$=1為首項(xiàng)公差為1的等差數(shù)列后就可解決問(wèn)題了．

解答 解：由于a_n=f（2ⁿ）則a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）且a₁=2=f（2）
∵對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2ⁿ，y=2則f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∴a_n+1=2a_n+2×2ⁿ
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1
∴數(shù)列{ $\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}$=1為首項(xiàng)公差為1的等差數(shù)列
∴${S_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了利用函數(shù)的特征求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是函數(shù)與數(shù)列的綜合題．解題的關(guān)鍵是分別賦予x=2ⁿ，y=2得到a_n+1=2a_n+2×2ⁿ然后構(gòu)造出數(shù)列數(shù)列{ $\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以 $\frac{{a}_{1}}{2}$=1為首項(xiàng)公差為1的等差數(shù)列后就可求解．同時(shí)要對(duì)遞推關(guān)系式a_n+1=pa_n+qⁿ通過(guò)兩邊同除以qⁿ⁺¹構(gòu)造出{$\frac{{a}_{n}}{{q}^{n}}$}為等差數(shù)列進(jìn)而求出a_n的通項(xiàng)公式．